冰期均衡调整引起的相对海平面变化


不考虑冰进(海洋水结冰或进入陆地并结冰)与冰退(海洋冰融化或陆地冰融化成水而进入海洋)对固体地球的影响(固体地球对表面荷载的响应请参见冰期回弹效应的计算),只考虑冰进与冰退引起海洋水体积的变化而导致的海平面变化称为”Eustatic”海平面变化(Sea Level Variations)。实际上冰进与冰退不仅引起”Eustatic”海平面变化,同时也因自身引力作用而引起平均海平面(大地水准面)以及固体地球表面的变化,从而导致相对海平面(平均海平面相对于固体地球表面)的变化。

基本理论

$t$ 时刻的相对海平面(Relative Sea Level, RSL)相对于 $t_r$ 时刻的变化为 $$S ( \Omega , t ) = N ( \Omega , t ) – U ( \Omega , t ) \;,$$ 其中 $N ( \Omega , t )$ 为 $t$ 时刻的大地水准面相对于 $t_r$ 时刻的变化,$U ( \Omega , t )$ 为 $t$ 时刻的固体地球表面相对于 $t_r$ 时刻的变化,$\Omega$ 为整个球面域。由于冰融化成水的体积不等于海洋水体积的变化(温度、盐度的混合),因此真实的海平面为修正的大地水准面,即 $$N ( \Omega , t ) = \frac { \Phi } { \gamma_0 } ( \Omega , t ) + c ( t )\;,$$ 其中 $\Phi ( \Omega , t )$ 为 $t$ 时刻的引力势扰动相对于 $t_r$ 时刻的变化,$\gamma_0$ 为未扰动的地球表面的引力加速度,$c ( t )$ 为修正项。根据质量守恒(冰质量变化+海洋水质量变化=0) 定律 $$m_i + \int_o\rho_wSdA=0$$ 可得 $$c ( t ) = S^E – \overline { \left( \frac { \Phi } { \gamma } – U \right) }\;,$$ 其中 $$ S^E = – \frac { m _ { i } } { \rho _ { w } A _ { o } } \;, \quad \overline { ( \ldots ) } = \frac { 1 } { A _ { o } } \int _ { o } ( \ldots ) d A\;,$$ 其中 $m_i$ 为冰的质量变化,$A_o$ 为海洋区域的面积,$\rho_w$ 为水的密度。若 $c ( t ) = 0$,则冰融化成水的体积等于海洋水体积的变化;若 $c ( t ) \neq 0$,则冰融化成水的体积不等于海洋水体积的变化(想象 1 升的冰水加入 1 升的温暖海水,混合后其总体积不是 2 升)。在实际操作中, $S ( \Omega , t )$ 可由潮汐站(Tide Gauges)的测量数据获得,$N ( \Omega , t )$ 可通过海洋测高数据获得,$U ( \Omega , t )$ 可通过地壳运动观测网络的数据来获得。

海平面方程

因为 $U ( \Omega , t )$ 与 $\Phi( \Omega , t )$ 都跟表面荷载的变化密切相关,因此对于表面荷载 $$
\mathcal { L } ( \Omega , t ) = \rho _ { i } I + \rho _ { w } S \mathcal { O }\;,$$ 地表垂向位移和引力势扰动的响应为 $$
\left\{ \begin{array} { c } { U } \\ { \Phi } \end{array} \right\} ( \Omega , t ) = \rho _ { i } \left\{ \begin{array} { c } { G _ { u } } \ { G _ { \phi } } \end{array} \right\} \otimes _ { i } I + \rho _ { w } \left\{ \begin{array} { c } { G _ { u } } \\ { G _ { \phi } } \end{array} \right\} \otimes _ { o } S\;,$$ 其中 $\rho_i$ 为冰的密度,$I$ 为冰厚度的变化,$\mathcal { O }$ 为海洋函数(Ocean Function, OF),其表达式为 $$\mathcal { O } ( \Omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \text { if } \Omega \in \text { oceans } } \\ { 0 , } & { \text { if } \Omega \in \text { land } } \end{array} \right. \;,$$ $\otimes _ { i }$ 和 $\otimes _ { o }$ 表示在冰域和海洋域上的卷积,$G _ { u }$ 和 $G _ { \phi }$ 分别为地表垂向位移和引力势扰动对脉冲点荷载(Impulsive Unit Load)的响应,也即地表垂向位移和引力势扰动的格林函数,其表达式为 $$\left\{ \begin{array} { c } { G _ { u } } \\ { \frac { 1 } { \gamma_0 } G _ { \phi } } \end{array} \right\} ( \Theta , t ) = \frac { a } { m _ { e } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \left\{ \begin{array} { c } { h _ { l } ( t ) } \\ { \delta ( t ) + k _ { l } ( t ) } \end{array} \right\} P _ { l } ( \cos \Theta ) \;,$$ 其中 $\Theta$ 为荷载坐标系(参见冰期回弹效应的计算)下的余纬,$a$ 为地球的半径,$m_e$ 为地球质量,$\delta(t)$ 为 Dirac delta 函数,$P _ { l } ( \cos \Theta )$ 为勒让德多项式,$h_l(t)$、$k_l(t)$ 为随时间变化的荷载勒夫数,其表达式为 $$\left\{ \begin{array} { l } { h _ { l } } \\ { k _ { l } } \end{array} \right\} ( t ) = \left\{ \begin{array} { l } { h _ { l } } \\ { k _ { l } } \end{array} \right\} ^ { E } \delta ( t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } e ^ { -\frac{t}{\tau_{li}} } \left\{ \begin{array} { l } { h _ { l i } } \\ { k _ { l i } } \end{array} \right\} ^ { V }\;,$$ 其中 E 表示勒夫数的弹性部分,V 表示粘滞性部分,M 为与地球的分层结构相关的模数,$\tau_{li}$ 为地球模型的松弛时间(Relaxation Times)。定义相对海平面变化的格林函数为 $$G_s(\Omega,t) = \frac{G_{\phi}}{\gamma_0}-G_u \;,$$ 则海平面方程(Sea Level Equation, SLE)为 $$
S ( \Omega , t ) = \rho _ { i } G _ { s } \otimes _ { i } I + \rho _ { w } G _ { s } \otimes _ { o } S + S ^ { E } – \rho _ { i } \overline { G _ { s } \otimes _ { i } I } – \rho _ { w }\overline { G _ { s } \otimes _ { o } S }\;,$$ 该方程可通过迭代法进行求解 $S ( \Omega , t )$。

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