利用测角信息修正激光测距轨道预报


距离门控由实测距离值与预报距离值的差(Observed-Calculated, O-C)所决定,其中一部分差是由时间上的偏移导致的,另一部分差是由距离本身的偏移造成的,还有一小部分则是由尺度因子决定的。由于实测中有些目标很难测到回波信号,因此本文根据目标的测角(高度角方位角)信息建立了轨道预报修正模型,并用最小二乘迭代法来估算尺度因子(Scale Factor, SF)、时间偏差(Time Bias, TB)、高度角偏差(Elevation Bias, EB)和方位角偏差(Azimuth Bias, AB)。

时间偏差与距离偏差

时间偏差为观测距离值的极值点与理论距离值的极值点在时间轴上的偏移,距离偏差为观测距离值的极值点与理论距离值的极值点在距离轴上的偏移(见下图)。

时间偏差和距离偏差衡量的是整个弧段的偏移量,只考虑上升段或下降段的偏移会得到不准确的偏移量。

轨道预报修正模型

令 $R_{predict}(t)$ 和 $R_{observe}(t)$ 分别表示 $t$ 时刻预报和实测的距离值,那么两者之间的关系可由如下方程表示:$$R_{observe}(t) = (1+\Delta s)R_{predict}(t+\tau)+\Delta R$$,其中 $\Delta s$ 为尺度因子(量级为 $10^{-4} \sim 10^{-6}$,是一个小量),$\tau$ 为时间偏差,$\Delta R$ 为距离偏差。由于时间偏差 $\tau$ 为小量(量级为几十个毫秒),对 $R_{predict}(t+\tau)$ 展开到一阶可得 $$
R _ { p r e d i c t } ( t + \tau ) = R _ { \text {predict} } ( t ) + \left. \frac { d R _ { \text {predict} } ( t ) } { d t } \right| _ { t } \tau + O \left( \tau ^ { 2 } \right) $$。联合上面两个方程,并略去高阶项得到$$R_{observe}(t) – R_{predict}(t) = \Delta s \cdot R_{predict}(t) + \frac{dR_{predict}(t)}{dt}\bigg{|}_{t}\tau + \Delta R$$,由于 $t$ 实际上为一系列的时间序列 $t_i(i=1,…,n)$,所以求解方程 3 本质上是利用最小二乘法求解参数 $\Delta s$、$\tau$ 和 $\Delta R$。

令$$\begin{array} { c } { \boldsymbol { A } _ { i } = \left[ R _ { \text {predict} } ( t_i ) \quad \frac { d R _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } { d t } 1 \right] } \\ { \boldsymbol { B } _ { i } = R _ { \text {observe} } \left( t _ { i } \right) – R _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } \end{array}$$,那么 $$
\left[ \begin{array} { c } { \Delta s } \\ { \tau } \\ { \Delta R } \end{array} \right] = \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol A _ { i } ^ { T } \boldsymbol { A } _ { i } \right] ^ { – 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { A } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { B } _ { i }$$。因为方程 3 中的高阶项被略去,因此需要不断迭代来进一步改正时间偏差 $\tau$。令前面拟合得到的时间偏差记为 $\tau^{}$,迭代一次的改正记为 $\Delta \tau_1$,那么方程 1 和方程 2 变为 $$
\begin{array} { c } { R _ { \text {observe} } ( t ) = \left( 1 + \Delta s _ { 1 } \right) R _ { \text {predict} } \left( t + \tau ^ { * } + \Delta \tau _ { 1 } \right) + \Delta R _ { 1 } } \\ { R _ { \text {predict} } \left( t + \tau ^ { * } + \Delta \tau _ { 1 } \right) = R _ { \text {predict} } \left( t + \tau ^ { * } \right) + \left. \frac { d R _ { \text {predict} } ( t ) } { d t } \right| _ { t + \tau ^ { * } } \Delta \tau _ { 1 } + O \left( \Delta ^ { 2 } \tau _ { 1 } \right) } \end{array}$$,结合方程 7 和 8 并略去高阶项可得:$$R _ { o b s e r v e } ( t ) – R _ { \text {predict} } \left( t + \tau ^ { * } \right) = \Delta s _ { 1 } \cdot R _ { p r e d i c t } \left( t + \tau ^ { * } \right) \left. \frac { d R _ { \text {predict} } ( t ) } { d t } \right| _ { t + \tau ^ { * } } \Delta \tau _ { 1 } + \Delta R _ { 1 }$$。令 $$\begin{array} { c }{\boldsymbol { A } _ { i } = \left[ R _ { \text {predict} } \left( t _ { i } + \tau ^ { * } \right) \quad \left. \frac { d R _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } { d t } \right| _ { t _ { i } + \tau ^ { * } } 1 \right]} \\ {\boldsymbol { B } _ { i } = R _ { o b s e r v e } \left( t _ { i } \right) – R _ { p r e d i c t } \left( t _ { i } + \tau ^ { * } \right)} \end{array}$$,那么 $$\left[ \begin{array} { c } { \Delta s _ { 1 } } \\ { \Delta \tau } \\ { \Delta R _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol A _ { i } ^ { T } \boldsymbol { A } _ { i } \right] ^ { – 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { A } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { B } _ { i }$$。一次迭代后的尺度因子为 $\Delta s_1$,时间偏差为 $\tau^*+\Delta \tau_1$,距离偏差为 $\Delta R_1$,以此类推,$n$ 次迭代后的时间偏差可表示为 $$TB = \tau^* + \Delta \tau_1 + \Delta \tau_2 + \cdots + \Delta \tau_n$$,尺度因子为 $\Delta s_n$,距离偏差为 $\Delta R_n$。

上面论述了通过距离信息 $R$ 来修正激光测距轨道预报的情况,对于综合考虑高度角 $E$ 和方位角 $A$ 修正预报的情况,分析方法完全一样,只需要将式 4~6 换成$$\boldsymbol { A } _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c c } { E _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } & { 0 } & { \frac { d E _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } { d t } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } & { \frac { d A _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } { d t } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$$,$$
\boldsymbol { B } _ { i } = \left[ \begin{array} { c } { E _ { \text {observe} } \left( t _ { i } \right) – E _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } \\ { A _ { \text {observe} } \left( t _ { i } \right) – A _ { \text {predict} } \left( t _ { i } \right) } \end{array} \right]$$,$$\left[ \begin{array} { c } { \Delta s _ { E } } \\ { \Delta s _ { A } } \\ { \tau } \\ { \Delta E } \\ { \Delta A } \end{array} \right] = \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol A _ { i } ^ { T } \boldsymbol { A } _ { i } \right] ^ { – 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { A } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { B } _ { i }$$ 即可,迭代的情况跟上面的思路一样。至此,我们建立了用测角信息修正轨道预报的模型和方法。

方法的内符合验证

为了验证方法本身的可行性和稳定性,取抛物线 $f(t) = -0.02(t-15)^2+50$ 作为预报(高度角)曲线,将其在横轴(时间轴)上平移 0.05 个单位,纵轴上平移 0.8 个单位,尺度因子为 0,得到实测曲线 $g(t) = -0.02(t-15.05)^2+50.8$。分别生成 20 个点的时间序列 $(t_i,f(t_i))$ 和 $(t_i,g(t_i))$ 作为预报点和实测点,并对这两个时间序列进行三次样条插值和求其一阶导函数。

在时间序列上添加服从正态分布 $\mathcal{N}(0,10^{-6})$ 的扰动,在时间偏移量精度小于 0.001 个单位的情况下得到时间偏移量为 -0.0493,纵轴的偏移量为 0.7997,结果表明用最小二乘迭代法拟合轨道预报修正模型的参数在一定精度范围内是满足可行性和稳定性要求的(见下图)。

数值模拟

从欧洲数据中心(EUROLAS Data Center, EDC)下载了统一预报格式(Consolidated Prediction Format, CPF)的预报作为轨道观测值(参见根据卫星的 CPF 预报计算卫星相对于测站的高度角、方位角以及距离信息)并生成文件 ajisai_cpf.txt,从 Space-Track 下载双行根数(Two Line Element, TLE)作为轨道预报值(通过 PyEphem 计算轨道预报,参见根据卫星的双行根数(TLE)计算卫星相对于测站的高度角、方位角以及距离信息)并生成文件 AJISAI_TLE.txt,用上述模型和方法计算了 17 圈中低轨卫星(从 2017/08/30 到2017/09/01)的时间偏差、距离偏差、方位角偏差、高度角偏差、尺度因子。在时间偏差的精度小于 1ms 时,17 圈卫星的预报修正参数全部收敛。

用距离信息修正轨道预报

输出结果为

对 修正前后的 O-C 作图

将距离信息估算的尺度因子、时间偏差和距离偏差修正到距离预报中,并与距离的观测值做差得到 O-C。上图显示修正后的 O-C 曲线在零值附近发生微小的波动。

用测角信息修正轨道预报

输出结果为

上图显示将测角信息估算的尺度因子、时间偏差、高度角偏差、方位角偏差修正到高度角和方位角中,预报的高度角和方位角得到了明显的改善。未修正的高度角和方位角在非零值附近发生大振幅的变化,而改善的高度角和方位角在零值附近发生微小的波动。将测角信息估算的方位角尺度因子、时间偏差修正到距离预报中并与距离的观测值做差得到 O-C。修正后的 O-C 曲线明显更加扁平,这意味着测距时能够尽可能地压缩门控,从而增强信噪比。尽管曲线更加扁平,但 O-C 的整体发生了偏离,这是没有添加距离偏差导致的。在距离信息未知的情况下,用测角信息估算的修正参数对距离预报的改善有较好的效果。

下表列出了 17 圈卫星的轨道周期以及由测角信息解算的时间偏差,距离信息解算的时间偏差和距离偏差,相对偏差。

上表的结果显示由测角信息求解的时间偏差与由距离信息求解的时间偏差十分接近,这说明高度角方位角在时间上的偏移与距离在时间上的偏移具有相似的变化规律。

尺度因子比较

上图显示了用距离信息求解的尺度因子与测角信息求解的方位角尺度因子比较接近,与高度角尺度因子的差别较大(差别的平均值约为 -0.001),说明方位角随时间的变化与距离随时间的变化更为密切,因此可以用方位角尺度因子近似代替距离尺度因子。

时间偏差模型中涉及到尺度因子、时间偏差、距离偏差、高度角偏差和方位角偏差等参数,这些参数对距离预报的修正有不同的作用。通常情况下,对尺度因子的修正相当于将 O-C 曲线中的二阶项消除,只留下三阶项及更高阶项。修正前的 O-C 曲线基本都是一阶项、二阶项占主导,而修正后的 O-C 曲线基本都是三阶及高阶项占主导。对时间偏差的修正相当于将 O-C 曲线进行旋转,这很有效地消除了 O-C 中的一阶项,因此消除了 O-C 的线性变化趋势。


参考

G. Xu, Sciences of Geodesy-I., Springer, 2010.

关于 “利用测角信息修正激光测距轨道预报” 的 2 个意见

  1. 即使不被大多数理解,也要坚定不移地走下去,因为真理就是掌握在少数人手里。

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